Trong các dạng toán tính giá trị biểu thức hay tính nhanh, chúng ta sẽ thấy một số bài toán tính tổng dãy số (dãy số liên tiếp, dãy số cách đều,…). Phương pháp làm những dạng này thật ra rất đơn giản, hãy cũng với MATHX khám phá nhé!
Công thức tính tổng các dãy số hạng liên tiếp
Tính tổng S(n) = 1 + 2 + 3 + … + n -
Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 97 + 98 + 99
Phân tích và giải:
Ta thấy tổng S có thể tính theo 2 cách (từ đầu đến cuối hoặc từ cuối lên đầu)
S = 1 + 2 + 3 + ... + 97 + 98 + 99
S = 99 + 98 + 97 + ... + 3 + 2 + 1
Ta cộng lại:
S + S = (1 + 99) + (2 + 98) + (3 + 97) + ... + (97 + 3) + (98 + 2) + (99 + 1)
S x 2 = (1 + 99) x 99
S = (1 + 99) x 99 : 2 = 2950
Ta có thể xây dựng công thức tổng quát để tìm tổng các số hạng của một dãy số tự nhiên liên tiếp như sau:
Tổng = (số đầu + số cuối) x số số hạng : 2
Ví dụ 2: Tính tổng: S = 1 + 3 + 5 + 7 + ...+ 95 + 97 + 99
Phân tích và giải:
Cũng tương tự như ví dụ 1, ta sẽ tính như sau:
S = 1 + 3 + 5 + ... + 95 + 97 + 99
S = 99 + 97 + 95 + ... 5 + 3 + 1
S + S = (1 + 99) + (3 + 97) + (5 + 95) + ... + (95 + 5) + (97 + 3) + (99 + 1)
Vấn đề đặt ra lúc này là cần tìm xem có bao nhiêu nhóm có tổng bằng 100 ở trên. Số nhóm này chính là số số hạng của dãy số 1, 3, 5, ..., 99
Ta có công thức tính số số hạng của dãy số cách đều:
Số số hạng = (Số cuối - Số đầu) : Khoảng cách + 1
Ta có số số hạng là: (99 - 1) : 2 + 1 = 50 (số hạng)
Từ đó tính được tổng:
S = (1 + 99) x 50 : 2 = 2500.
Liên quan đến dãy số cách đều còn có dạng tìm số hạng thứ n của dãy số cách đều.
Các con có thể tham khảo thêm tại: TÌM SỐ HẠNG THỨ N CỦA DÃY SỐ CÁCH ĐỀU
Bây giờ chúng ta cùng ôn tập thêm một số bài toán về dạng này nhé!
Bài 1. Tính tổng: S = 1 + 2 + 3 + ... + 29
Lời giải:
Tổng dãy số trên là:
( 29 + 1 ) x 29 : 2 = 435
Đáp số: 435
Bài 2. Tính tổng S = 2 + 4 + 6 + ... + 18 + 40
Lời giải:
Số các số hạng của dãy số trên là:
( 40 - 2 ) : 2 + 1 = 20 (số hạng)
Tổng dãy số trên là:
( 40 + 2 ) x 20 : 2 = 420
Đáp số: 420
Bài 3. Cho dãy số: 1, 3, 5, 7, ..., 59. Tính tổng các số hạng của dãy số trên.
Lời giải:
Số các số hạng của dãy số trên là:
( 59 - 1 ) : 2 + 1 = 30 (số hạng)
Tổng dãy số trên là:
( 59 + 1 ) x 30 : 2 = 900
Đáp số: 900
Bài 4. Hình thứ 20 theo quy luật dưới đây gồm bao nhiêu ô vuông trắng?
Tìm ô vuông trắng ở hình thứ 20
Lời giải:
Hình 1 có 1 ô vuông trắng
Hình 2 có 1 + 2 = 3 ô vuông trắng
Hình 3 có 1 + 2 + 3 = 6 ô vuông trắng
Hình 4 có 1 + 2 + 3 + 4 = 10 ô vuông trắng
Hình thứ 20 có 1 + 2 + 3 + 4 + … + 19 + 20 = (20 + 1) x 20 : 2 = 210 ô vuông trắng.
