Lý thuyết phương trình đường thẳng

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Định nghĩa :

vectơ (vec{u}) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng (∆) nếu (vec{u}) ≠ (vec{0}) và giá của (vec{u}) song song hoặc trùng với (∆)

Nhận xét :

- Nếu (vec{u}) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng (∆) thì (kvec{u} ( k≠ 0)) cũng là một vectơ chỉ phương của (∆) , do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.

- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

2. Phương trình tham số của đường thẳng

- Phương trình tham số của đường thẳng (∆) đi qua điểm (M_0(x_0 ;y_0)) và nhận vectơ (vec{u} = (u_1; u_2)) làm vectơ chỉ phương là :

(∆) : (left{begin{matrix} x= x_{0}+tu_{1}& y= y_{0}+tu_{2}& end{matrix}right.)

-Khi (u_1≠ 0) thì tỉ số (k= dfrac{u_{2}}{u_{1}}) được gọi là hệ số góc của đường thẳng.

Từ đây, ta có phương trình đường thẳng (∆) đi qua điểm (M_0(x_0 ;y_0)) và có hệ số góc k là:

(y - y_0 = k(x - x_0))

Chú ý: Ta đã biết hệ số góc (k = tan α) với góc (α) là góc của đường thẳng (∆) hợp với chiều dương của trục (Ox)

3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Định nghĩa: Vectơ (vec{n}) được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng (∆) nếu (vec{n}) ≠ (vec{0}) và (vec{n}) vuông góc với vectơ chỉ phương của (∆)

Nhận xét:

- Nếu (vec{n}) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng (∆) thì k(vec{n}) ((k ≠ 0)) cũng là một vectơ pháp tuyến của (∆), do đó một đường thẳng có vô số vec tơ pháp tuyến.

- Một đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết một và một vectơ pháp tuyến của nó.

4. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Định nghĩa: Phương trình (ax + by + c = 0) với (a) và (b) không đồng thời bằng (0), được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.

Trường hợp đặc biết:

+ Nếu (a = 0 => y = dfrac{-c}{b}; ∆ // Ox) hoặc trùng Ox (khi c=0)

+ Nếu (b = 0 => x = dfrac{-c}{a}; ∆ // Oy) hoặc trùng Oy (khi c=0)

+ Nếu (c = 0 => ax + by = 0 => ∆) đi qua gốc tọa độ

+ Nếu (∆) cắt (Ox) tại (A(a; 0)) và (Oy) tại (B (0; b)) thì ta có phương trình đoạn chắn của đường thẳng (∆) :

(dfrac{x}{a} + dfrac{y}{b} = 1)

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng ∆1 và ∆2

có phương trình tổng quát lần lượt là :

a1x+b1y + c1 = 0 và a2x+b2y +c2 = 0

Điểm (M_0(x_0 ;y_0))) là điểm chung của ∆1 và ∆2 khi và chỉ khi ((x_0 ;y_0)) là nghiệm của hệ hai phương trình:

(1) (left{begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y +c_{1} = 0& a_{2}x+b_{2}y+c_{2}= 0& end{matrix}right.)

Ta có các trường hợp sau:

a) Hệ (1) có một nghiệm: ∆1 cắt ∆2

b) Hệ (1) vô nghiệm: ∆1 // ∆2

c) Hệ (1) có vô số nghiệm: ∆1 ( equiv )∆2

6.Góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau tạo thành 4 góc.

Nếu ∆1 không vuông góc với ∆2 thì góc nhọn trong số bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2.

Nếu ∆1 vuông góc với ∆2 thì ta nói góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 900.

Trường hợp ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau thì ta quy ước góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 00.

Như vậy góc giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng 900

Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được kí hiệu là (widehat{(Delta _{1},Delta _{2})})

Cho hai đường thẳng:

∆1: a1x+b1y + c1 = 0

∆2: a2x+b2y + c2 = 0

Đặt (varphi) = (widehat{(Delta _{1},Delta _{2})})

(cos varphi) = (dfrac{|a_{1}.a_{2}+b_{1}.b_{2}|}{sqrt{{a_{1}}^{2}+{b_{1}}^{2}}sqrt{{a_{2}}^{2}+{b_{2}}^{2}}})

Chú ý:

+ ({Delta _1} bot {Delta _2} Leftrightarrow {n_1} bot {n_2}) ( Leftrightarrow {a_1}.{a_2} + {b_1}.{b_2} = 0)

+ Nếu ({Delta _1}) và ({Delta _2}) có phương trình y = k1 x + m1 và y = k2 x + m2 thì

({Delta _1} bot {Delta _2} Leftrightarrow {k_1}.{k_2} = - 1)

7. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng (Oxy) cho đường thẳng (∆) có phương trình (ax+by+c=0) và điểm (M_0(x_0 ;y_0))).

Khoảng cách từ điểm (M_0) đến đường thẳng (∆) kí hiệu là (d(M_0,∆)), được tính bởi công thức

(d(M_0,∆)=frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{sqrt{a^{2}+b^{2}}})

Loigiaihay.com