Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ chi tiết sách Toán 10 Tập 1 Kết nối tri thức với cuộc sống giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10. Mời các bạn đón xem:
Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ
Giải Toán 10 trang 51 Tập 1 Kết nối tri thức
Câu mở đầu trang 51 Toán lớp 10: Một con tàu chuyển động từ bờ bên này sang bờ bên kia của một dòng sông với vận tốc riêng không đổi. Giả sử vận tốc dòng nước là không đổi và đáng kể, các yếu tố bên ngoài khác không ảnh hưởng đến vận tốc thực tế của tàu. Nếu không quan tâm đến điểm đến thì cần giữ lái cho tàu tạo với bờ sông một góc bao nhiêu để tàu sang bờ bên kia được nhanh nhất?
Lời giải:
Gọi: vận tốc thực tế của tàu là v→
Vận tốc riêng của tàu (đối với dòng nước) là vt→
Vận tốc của dòng nước (đối với bờ) là vn→
Ta có: v→=vn→+vt→
Để tàu sang bờ bên kia nhanh nhất thì vận tốc thực tế của tàu có hướng vuông góc với bờ.
Thao quy tắc hình bình hành thì v→ là vecto đường chéo xuất phát từ gốc chung của vecto vận tốc riêng của tàu và vecto vận tốc dòng nước tác động lên tàu.
1. Tổng của hai vectơ
HĐ1 trang 51 Toán lớp 10: Với hai vectơ a→,b→ cho trước, lấy một điểm A vẽ các vectơ AB→=a→,BC→=b→. Lấy điểm A’ khác A và cũng vẽ các vectơ A′B′→=a→,B′C′→=b→. Hỏi hai vectơ AC→ và A′C′→ có mối quan hệ gì?
Phương pháp giải:
Hai vectơ bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Xét độ dài và hướng của hai vectơ AC→ và A′C′→ để suy ra mối quan hệ của chúng.
Lời giải:
AB→=a→⇒{AB//aAB=a và A′B′→=a→⇒{A′B′//aA′B′=a
⇒{AB//A′B′AB=A′B′
Tương tự, ta cũng suy ra {BC//B′C′BC=B′C′
⇒ΔABC=ΔA′B′C′(c-g-c)
{AC//A′C′AC=A′C′
Dễ dàng suy ra AC→=A′C′→.
HĐ2 trang 51 Toán lớp 10: Cho hình bình hành ABCD. Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ AB→+AD→ và AC→
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định vectơ AB→+AD→ bằng cách thay vectơ AD→ bởi vectơ bằng nó mà có điểm đầu là B.
Bước 2: So sánh với vectơ AC→
Lời giải:
Vì ABCD là hình bình hành nên {AD//BCAD=BC, hay AD→=BC→.
Do đó AB→+AD→=AB→+BC→=AC→.
Giải Toán 10 trang 52 Tập 1 Kết nối tri thức
HĐ3 trang 52 Toán lớp 10: a) Trong hình 4.14a, hãy chỉ ra vectơ a→+b→và vectơ b→+a→.
b) Trong hình 4.14b, hãy chỉ ra vectơ (a→+b→)+c→và vectơ a→+(b→+c→).
Phương pháp giải:
Nếu AB→=a→,BC→=b→ thì a→+b→=AB→+BC→=AC→
Lời giải:
a) Ta có: AB→=a→,BC→=b→ nên a→+b→=AB→+BC→=AC→
Mặt khác: AD→=b→,DC→=a→ nên b→+a→=AD→+DC→=AC→
Do đó a→+b→=b→+a→.
b) Theo câu a) ta có a→+b→=AC→ và CD→=c→ nên (a→+b→)+c→=AC→+CD→=AD→.
Mặt khác: BC→=b→,CD→=c→ nên b→+c→=BC→+CD→=BD→
Và a→=AB→ nên a→+(b→+c→)=AB→+BD→=AD→
Vậy (a→+b→)+c→=a→+(b→+c→)
Luyện tập 1 trang 52 Toán lớp 10: Cho hình thoi ABCD cới cạnh có độ dài bằng 1 và BAD^=120o. Tính độ dài của các vectơ CB→+CD→,DB→+CD→+BA→.
Lời giải:
CD→=BA→ do hai vectơ CD→,BA→ cùng hướng và CD=BA.
⇒CB→+CD→=CB→+BA→=CA→⇔|CB→+CD→|=|CA→|=CA
Xét tam giác ABC, ta có:
BA=BC và BAC^=12.BAD^=60o
⇒ΔABC đều, hay CA=BC=1
Vậy |CB→+CD→|=1.
Dựa vào tính chất kết hợp, ta có:
DB→+CD→+BA→=(DB→+CD→)+BA→=(CD→+DB→)+BA→=CB→+BA→=CA→.⇒|DB→+CD→+BA→|=|CA→|=CA=1.
2. HIệu của hai vectơ
HĐ4 trang 52 Toán lớp 10: Thế nào là hai lực cân bằng? Nếu dùng hai vectơ để biểu diễn hai lực cần bằng thì hai vectơ này có mối quan hệ gì với nhau?
Lời giải:
Chẳng hạn khi hai đội kéo co bất phân thắng bại.
Hai đội cùng kéo dây nhằm kéo dây về phía mình, khi lực từ hai phía bằng nhau thì điểm buộc dây gần như không dịch chuyển. Khi đó ta nói lực kéo của hai đội là cân bằng.
Vecto biểu diễn lực, thể hiện phương, chiều và độ lớn. Dễ thấy hai lực này ngược hướng (cùng phương, ngược chiều) và có chung điểm đầu là điểm cân bằng, độ lớn như nhau.
Vậy hai lực cân bằng là hai lực mà khi tác dụng đồng thời vào 1 điểm (hay vật) thì điểm (vật) đó không di chuyển.
Giải Toán 10 trang 53 Tập 1 Kết nối tri thức
Luyện tập 2 trang 53 Toán lớp 10: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và O là trung điểm của MN. Chứng minh rằng: OA→+OB→+OC→+OD→=0→.
Phương pháp giải:
Nếu I là trung điểm của AB thì IA→+IB→=0→.
Lời giải:
Dễ thấy: OA→=OM→+MA→; OB→=OM→+MB→
Tương tự: OC→=ON→+NC→; OD→=ON→+ND→
⇒OA→+OB→+OC→+OD→=(OM→+MA→)+(OM→+MB→)+(ON→+NC→)+(ON→+ND→)=(OM→+OM→+MA→+MB→)+(ON→+ON→+NC→+ND→)=OM→+OM→+ON→+ON→=(OM→+ON→)+(OM→+ON→)=0→+0→=0→.
Giải Toán 10 trang 54 Tập 1 Kết nối tri thức
Vận dụng trang 54 Toán lớp 10: Tính lực kéo cần thiết để kéo một khẩu pháo có trọng lượng 22 148 N (ứng với khối lượng xấp xỉ 2 260kg) lên một con dốc nghiêng 30o so với phương nằm ngang (H.4.18). Nếu lực kéo của mỗi người bằng 100N, thì cần tối thiểu bao nhiêu người để kéo pháo?
Phương pháp giải:
Khi cân bằng lực (trọng lực, phản lực, lực kéo) thì khẩu pháo đứng yên, do đó để kéo được khẩu pháo lên thì lực kéo phải lớn hơn hoặc bằng tổng hợp lực của trọng lực và phản lực.
Tìm hướng và độ lớn của tổng hợp lực giữa trọng lực và phản lực, từ đó suy ra độ lớn của lực kéo.
Lời giải:
Khẩu pháo chịu tác động của ba lực: trọng lực P→(kí hiệu OA→), phản lực w→(kí hiệu OB→) và lực kéo F→. Để kéo pháo thì độ lớn của lực kéo phải lớn hơn độ lớn của lực kéo khi pháo cân bằng Fo→(kí hiệu OFo→ )
Khi pháo cân bằng thì: P→+w→+Fo→=0→
Để tổng hợp lực P→ và w→, ta vẽ hình bình hành OACB.
Ta có:
OB=AC;OB//AC⇒OB→=AC→
⇒OB→+OA→=AC→+OA→=OA→+AC→=OC→
⇒0→=P→+w→+Fo→=OB→+OA→+OFo→=OC→+OFo→
⇒O là trung điểm của CFo, hay OC=|Fo→|.
Lại có: OB⊥OC(do OB→ là phản lực)
⇒AC⊥CO⇒OC=OA.cosAOC^
Mà AOC^=90o−30o=60o; |P→|=OA=22148N
⇒OC=22148.cos60o=11074(N)
Vậy lực Fo→có độ lớn là 11074N, để kéo pháo thì lực F→ cùng hướng với Fo→ và |F→|>11074N
Vì 11074:100=110,74 nên cần tối thiểu 111 người để kéo pháo.
Bài tập
Bài 4.6 trang 54 Toán lớp 10: Cho bốn điểm A,B,C,D. Chứng minh rằng:
a) AB→+BC→+CD→+DA→=0→
b) AC→−AD→=BC→−BD→
Lời giải:
a)
AB→+BC→+CD→+DA→=(AB→+BC→)+(CD→+DA→)=AC→+CA→=AA→=0→.
b)
AC→−AD→=DC→ và BC→−BD→=DC→
⇒AC→−AD→=BC→−BD→
Bài 4.7 trang 54 Toán lớp 10: Cho hình bình hành ABCD. Hãy tìm điểm M để BM→=AB→+AD→. Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ CD→ và CM→.
Lời giải:
Ta có: AD→=BC→ (do ABCD là hình bình hành)
⇒AB→+AD→=AB→+BC→=AC→
⇒BM→=AB→+AD→=AC→
⇒ Tứ giác ABMC là hình bình hành.
⇒AB→=CM→. Mà AB→=DC→
⇒DC→=CM→
⇒Clà trung điểm DM.
Nói cách khác: CD→+CM→=0→ hay hai vectơ CD→ và CM→đối nhau.
Chú ý khi giải
+) Tứ giác ABCD là hình bình hành ⇔AD→=BC→
+) ABCD là hình bình hành thì AB→+AD→=AC→
Bài 4.8 trang 54 Toán lớp 10: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ AB→−AC→,AB→+AC→.
Lời giải:
AB→−AC→=CB→⇒|AB→−AC→|=|CB→|=CB=a.
Dựng hình bình hành ABDC tâm O như hình vẽ.
Ta có:
AB→+AC→=AB→+BD→=AD→
⇒|AB→+AC→|=|AD→|=AD
Vì tứ giác ABDC là hình bình hành, lại có AB=AC=BD=CD=a nên ABDC là hình thoi.
⇒AD=2AO=2.AB.sinB=2a.32=a3.
Vậy |AB→−AC→|=a và |AB→+AC→|=a3.
Bài 4.9 trang 54 Toán lớp 10: Hình 4.19 biểu diễn hai lực F1→,F2→ cùng tác động lên một vật, cho |F1→|=3N,|F2→|=2N. Tính độ lớn của hợp lực F1→+F2→.
Lời giải:
Dựng hình bình hành ABDC với hai cạnh là hai vectơ F1→,F2→như hình vẽ
Ta có:
F1→+F2→=AC→+AB→=AD→⇒|F1→+F2→|=|AD→|=AD
Xét ΔABD ta có:
BD=AC=|F1→|=3,AB=|F2→|=2.
ABD^=180o−BAC^=180o−120o=60o
Theo định lí cosin ta có:
AD2=AB2+BD2−2.AB.BD.cosABD^⇔AD2=22+32−2.2.3.cos120o⇔AD2=19⇔AD=19
Vậy |F1→+F2→|=19
Bài 4.10 trang 54 Toán lớp 10: Hai con tàu xuất phát cùng lúc từ bờ bên này sang bờ bên kia của dòng sông với vận tốc riêng không khổi và có độ lớn bàng nhau. Hai tàu luôn dược giữ lái sao cho chúng tạo với bờ cùng một góc nhọn nhưng một tàu hướng xuống hạ lưu, một tàu hướng lên thượng nguồn (hình bên). Vận tốc dòng nước là đáng kể, các yêu tố bên ngoài khác không ảnh hưởng tới vận tốc của các tàu. Hỏi tàu nào sang bờ bên kia trước.
Lời giải:
Ta đã biết vectơ dòng nước và hướng di chuyển (tức là vectơ vận tốc thực của hai tàu).
Ta cần xác định vectơ vận tốc của mỗi tàu, chỉ biết chúng có độ lớn bằng nhau.
Giả sử tàu 1 là tàu đi về phía hạ lưu còn tàu 2 là tàu đi về phía thượng nguồn.
Tàu 1 và tàu 2 bắt đầu di chuyển từ điểm A và A’ ở bờ bên này đến điểm E, E’ ở bờ bên kia.
Vecto vận tốc dòng nước tác động lên tàu là như nhau, biểu diễn bởi các vectơ AB→ và A′B′→
Gọi vectơ vận tốc riêng của hai tàu lần lượt là các vectơ AD→ và A′D′→
Vecto vận tốc thực của hai tàu là vectơ AC→ và A′C′→.
Với tàu 1, để xác định các điểm C, D:
Từ B ta kẻ đường vuông góc với bờ, cắt AE tại một điểm, kí hiệu là C. Tiếp theo, dựng hình bình hành ABCD ta được điểm D.
Với tàu 2, để xác định các điểm C’, D’
Trên A’E’ lấy điểm C’ sao cho B’C’= AD. Dựng hình bình hành A’B’C’D’, ta được điểm D’.
Giải thích:
Tàu 1: Được dòng nước đẩy theo vectơ AB→, và đi với vận tốc thực là vectơ AD→, khi ấy hướng di chuyển là vectơ tổng AB→+AD→ chính là vectơ AC→
Tàu 2: Bị dòng nước đẩy theo vectơ A′B′→, và đi với vận tốc thực là vectơ A′D′→, khi ấy hướng di chuyển là vectơ tổng A′B′→+A′D′→ chính là vectơ A′C′→
Các vectơ AD→ và A′D′→có độ dài bằng nhau (cùng bằng B’C’).
Do hai tàu chuyển động theo hướng tạo với bờ cùng một góc nhọn nên quãng đường đường đi khi chạm bờ bên kia là như nhau. Hay AE = A’E’.
Tàu nào có độ lớn vận tốc thực lớn hơn thì tàu đó sang bờ bên kia trước.
