Gọi [A] là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Chọn ngẫu nhiên một số từ [A]. Xác suất để số chọn ra có hai chữ số chẵn, hai chữ số lẻ bằng
A. [dfrac{9}{25}.]
B. [dfrac{3}{5}.]
C. [dfrac{18}{25}.]
D. [dfrac{2}{5}.]
Giải. Số các số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 là $5times A_{5}^{3}.$
Xét các tập $S=left{ 0,1,2,3,4,5 right};{{S}_{1}}=left{ 0,2,4 right};{{S}_{2}}=left{ 1,3,5 right}.$
+ Chọn ra hai số từ ${{S}_{1}}$ và hai số từ ${{S}_{2}}$ có $C_{3}^{2}C_{3}^{2}$ cách.
+ Sắp xếp bốn số vừa được chọn ra có 4! cách.
Vì vậy có thể có tất cả $C_{3}^{2}C_{3}^{2}4!$ số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau được lập từ $S$ có hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ. Trong các số này có các số không thoả mãn dạng $overline{0abc}$: chọn số 0 đứng đầu có 1 cách; chọn 1 số từ ${{S}_{1}}backslash left{ 0 right}$ có $C_{2}^{1}$ cách; chọn hai số từ ${{S}_{2}}$ có $C_{3}^{2}$ cách; sau đó sắp xếp ba số vừa chọn có 3! cách. Nên có tất cả $C_{2}^{1}C_{3}^{2}3!$ số không thoả mãn.
Vậy có tất cả $C_{3}^{2}C_{3}^{2}4!-C_{2}^{1}C_{3}^{2}3!$ số thoả mãn. Xác suất cần tính bằng $dfrac{C_{3}^{2}C_{3}^{2}4!-C_{2}^{1}C_{3}^{2}3!}{5A_{5}^{3}}=dfrac{3}{5}.$ Chọn đáp án B.
>>Xem thêm Tổng hợp tổ hợp - xác suất về thành lập các số tự nhiên
Xem thêm các bài toán cùng dạng về số tự nhiên:
>>Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3
>>Xác suất để nhận được ít nhất một số chia hết cho 4
>>Xác suất để số chọn được là một số tự nhiên gồm 5 chữ số và là số chia hết cho 6
>>Số tự nhiên có 9 chữ số và chia hết cho 9
>>Số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và là một số chia hết cho 15
>>Số tự nhiên gồm 8 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 và chia hết cho 1111
>>Số tự nhiên có bốn chữ số mà một chữ số của nó bằng tổng của ba chữ số còn lại
Cách 2: [A] là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5.
[Rightarrow ] Không gian mẫu bằng [Omega left( A right)=5.5.4.3=300.]
Gọi [overline{abcd}] là số tự nhiên thuộc tập hợp [A], [a,b,c,din left{ 0;1;2;3;4;5 right}]
* TH1: 4 chữ số [a,b,c,d] khác [0][Rightarrow a,b,c,din left{ 1;2;3;4;5 right}.]
Số cách chọn ra tập hợp 4 chữ số [a,b,c,d] có 2 số chẵn, 2 số lẻ từ tập [left{ 1;2;3;4;5 right}] là [C_{2}^{2}.C_{2}^{3}=3.]
Khi đó, số các số tự nhiên [overline{abcd}] gồm 2 chữ số chẵn, 2 chữ số lẻ là [3.4!=72] (số).
* TH2: 4 chữ số [a,b,c,d] có 1 chữ số bằng [0], 3 chữ số thuộc tập [left{ 1;2;3;4;5 right}]
Số cách chọn ra tập hợp 4 chữ số [a,b,c,d] có 2 số chẵn, 2 số lẻ là [C_{2}^{1}.C_{3}^{2}=6.]
Khi đó, số các số tự nhiên [overline{abcd}] gồm 2 chữ số chẵn, 2 chữ số lẻ là [3.3!.6=108] (số).
[Rightarrow ] Tổng số các số tự nhiên [overline{abcd}] có 2 chữ số chẵn, 2 chữ số lẻ là [72+108=180] (số).
[Rightarrow ] Xác suất cần tìm bằng [n=dfrac{180}{300}=dfrac{3}{5}.]Chọn đáp án B.
>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết
Bảng ghi nhớ điều kiện chia hết cho một số nguyên
Chia hết cho
Điều kiện chia hết
2
Chữ số tận cùng (hàng đơn vị) là chẵn (0, 2, 4, 6, hay 8).
3 hoặc 9
Số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 (hoặc 9).
VD: 2025 chia hết cho 3 vì 2+0+2+5=9 chia hết cho 3
VD: 2880 chia hết cho 9 vì 2+8+8+0=18 chia hết cho 9.
4
Hai chữ số tận cùng của nó là một số chia hết cho 4.
VD: 00, 04, 08, 24, 32,…
5
Chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
6
Số đó chia hết cho cả 2 và 3.
7
Tổng đan dấu từng nhóm ba chữ số của nó từ phải qua trái là một số chia hết cho 7.
VD: 1369851 chia hết cho 7 vì 851 − 369 + 1 = 483 = 7 × 69.
8
Ba chữ số tận cùng của nó là một số chia hết cho 8.
VD: 008, 016, 640,…
10
Chữ số hàng đơn vị là 0.
11
Tổng đan dấu các chữ số của nó là một số chia hết cho 11 tức $N=overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}...{{a}_{n}}}vdots 11$ thì điều kiện là ${{a}_{1}}-{{a}_{2}}+{{a}_{3}}-...+{{left( -1 right)}^{n-1}}{{a}_{n}}vdots 11.$
VD: 918082 chia hết cho 11 vì 9-1+8-0+8-2=22 chia hết cho 11.
12
Số đó chia hết cho cả 3 và 4.
13
Tổng đan dấu từng nhóm ba chữ số của nó từ phải qua trái là một số chia hết cho 13.
VD: 2911272 chia hết cho 13 vì 272 − 911 + 2 = −637 chia hết cho 13.
14
Số đó chia hết cho cả 2 và 7.
15
18
21
22
24
26
28
30
Số đó chia hết cho cả 3 và 5.
Số đó chia hết cho cả 2 và 9.
Số đó chia hết cho cả 3 và 7.
Số đó chia hết cho cả 2 và 11.
Số đó chia hết cho cả 3 và 8.
Số đó chia hết cho cả 2 và 13.
Số đó chia hết cho cả 4 và 7.
Số đó chia hết cho cả 3 và 10.
16
Bốn chữ số tận cùng của nó là một số chia hết cho 16.
VD: 157648 chia hết cho 16 vì 7648 = 478 × 16.
20 hoặc 25
Hai chữ số tận cùng của nó là một số chia hết cho 20 (hoặc 25).
Khoá học Toán 10 theo chương trình SGK mới
Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam
Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam
Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm
